Brachistochrone problem?

Brachistochrone ออกเสียงว่า บราคิสโตโครน

Brachistochrone Problem คือปัญหาทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่งที่น่าสนใจและชวนคิดอย่างมาก สำหรับผู้ที่ชื่นชอบคณิตศาสตร์และไม่ชอบคณิตศาสตร์สามารถอ่านทำความเข้าใจและคิดตามได้ไม่ยากครับ

เรามาเริ่มกันเลย Brachistochrone Problem คือปัญหาที่ถามว่า "เส้นทางใดที่จะทำให้กลิ้งวัตถุจากจุดหนึ่งมาอีกจุดหนึ่งได้เร็วที่สุด" ซึ่งนั่นเป็นประเด็นที่น่าสนใจเป็นอย่างมากในหมู่นักคณิตศาสตร์เมื่อหลายร้อยปีก่อน แต่ก็นั่นแหละครับท่านผู้อ่าน "คณิตศาสตร์คือการพิสูจน์" ก็มีนักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามหาคำตอบเกี่ยวกับมัน ซึ่งหนึ่งในผู้ที่ให้คำตอบกับเรื่องนี้ได้คนนั้นคือ "ไอแซก นิวตัน"

โจทย์ปัญหา

งั้นมาดูกันที่โจทย์ปัญหากันก่อนครับ "หากต้องการสร้างรางเชื่อมระหว่างจุด A ไป B แล้วกลิ้งวัตถุเล็กๆมาตามราง รางต้องมีลักษณะอย่างไร เพื่อให้วัตถุใช้เวลาน้อยที่สุดในการกลิ้งจากจุดหนึ่งมายังอีกจุดหนึ่ง" ที่คือโจทย์ครับ งั้นดูจากภาพด้านล่างประกอบด้วย

ถ้าดูผ่านๆหลายๆคนคงจะบอกว่าก็กลิ้งลงมาเป็นเส้นตรงสิ ใช่!กลิ้งลงมาเป็นเส้นตรง แต่ในมุมมองนักคณิตศาสตร์มองว่าแล้วพิสูจน์ยังไงละว่าเส้นตรงเป็นทางที่เร็วที่สุด นั่นแหละฮ่ะท่านผู้อ่าน
มาดูคำตอบของ ไอแซก นิวตัน กัน ซึ่งคำตอบของเขาคือ โค้งไซคลอยด์! What!? โค้งไซคลอยด์คืออัลไรนะ? หลายคนเกิดความสงสัยแน่นอนแต่ไม่เป็นไรครับเดี๋ยวผมจะช่วยอธิบายที่มาที่ไปของโค้งไซคลอยด์ให้เพิ่มนะครับ แต่ก่อนจะไปถึงเรื่องนั้นเรามาดูคำตอบที่เป็นรูปภาพกันก่อน

จากภาพคือเส้นรูปแบบต่างๆครับ

จากภาพจะเห็นว่าลูกบอลแต่ละลูกเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่แตกต่างกันครับ แล้วความเร็วมันต่างกันได้ยังไง ก็เพราะว่าความชันของเส้น ความชันของเส้นมีผลต่อความเร็วของลูกบอล อธิบายเพิ่มเติมจากที่เราเห็นเส้นแรก(line)ก็คือเส้นปกติที่ลากจากจุด A ไป B เป็นเส้นตรง ซึ่งเมื่อเรากลิ้งลูกบอลลงมาจะเห็นได้ว่าลูกบอลคลื่นที่ด้วยความเร็วเรื่อยๆ แต่ถ้าดูอีกเส้นถัดมาเส้นไซคลอยด์(cycloid)คือเส้นที่ลูกบอลเดินทางได้เร็วที่สุดเนื่องจากความชันของเส้นที่ลาดลงมาทำให้ลูกบอลมีความเร็วที่เกิดจากแรงโน้มถ่วงจนมีค่าคงที่ระดับหนึ่งและไหลไปเรื่อยๆโดยไม่ไต่ความชันขึ้นไปที่จุด B ซึ่งจะแตกต่างจากเส้นที่สามที่มีความเร็วในช่วงแรกก็จริงแต่สุดท้ายแล้วต้องไต่ความชันขึ้นมาเพื่อให้ถึงจุด B อีกทั้งยังมีระยะทางที่ไกลกว่า นั่นแหละฮ่ะท่านผู้อ่านเลยเป็นที่มาของคำตอบ

สรุป : โดยการมองแบบผ่านๆ หรือผู้ที่ไม่มีประสบการณ์ทางด้านนี้อาจจะมองว่า เส้นตรงนั้นเร็วที่สุดแต่ในมุมของนักคณิตศาสตร์จะมีคำถามกลับมาว่า มั่นใจได้ยังไงว่าเส้นทางนี้เร็วที่สุด เลยเป็นที่มาของประโยคที่ว่า "การไม่ได้เห็นเส้นทางอื่น ไม่ได้หมายความว่าเส้นทางอื่นไม่มีจริง" ง๊อวววววว

หน้าตาอุปกรณ์ที่ทำขึ้นมาเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีนี้

ส่วนที่มาที่ไปของ Cycloid ผมขอต่อใน Post หน้านะครับ ^_^

Ref : หนังสือ ภาษาจักรวาล ประวัติย่อของคณิตศาสตร์ โดย อาจวรงค์ จันทมาศ
Ref : https://www.youtube.com/watch?v=1BdO8J0iynY